Question

如图，已知△ABC三边长相等，和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3

如图，已知△ABC三边长相等，和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图（1）中， 点P是边BC的中点，由S△ABP+S△ACP=S△ABC得，可得又因为h3=0，所以：．图（2）~（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．（1）请探究：图（2）~（5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）⑵ ⑶ ⑷ ⑸ （2）说明图（3）所得结论为什么是正确的；（3）说明图（5）所得结论为什么是正确的．

Answer 1

(1）根据已知可以证得：②hl+h2+h3=h；③h1-h2+h3=h；④h1+h2+h3=h；⑤h1+h2-h3=h

(2）连接AP，可得S△APB+S△APC=S△ABC，由h3=0，AB=AC=BC，即可证h1+h2+h3=h；

(3）连接PA、PB、PC，可得S△APB+S△APC=S△ABC+S△BPC，由AB=AC=BC，即可求得h1+h2=h+h3，则可得h1+h2-h3=h．

 

Answer 2

P在三角形内：h=H1+H2+H3;
P点在延长线：H=H1-H2
例如图3：过E做DP和AB的垂线，垂足为K，L；则AM=H=EL;三角形PCK和PEK全等，PE=PK,H1=DP=DK+KP=H+H2.

Answer 3

 

解答：解：（1）②hl+h2+h3=h；③h1-h2+h3=h；④h1+h2+h3=h；⑤h1+h2-h3=h．

（2）图②中，h1+h2+h3=h．
连接AP，
则S△APB+S△APC=S△ABC，
∴12AB×h1+12AC×h2=12BC×h．
又h3=0，AB=AC=BC，
∴h1+h2+h3=h．

（3）图⑤中，h1+h2-h3=h．
连接PA、PB、PC，（如答图）
则S△APB+S△APC=S△ABC+S△BPC．
∴12AB×hl+12AC×h2=12BC×h+12BC×h3
又AB=AC=BC，
∴h1+h2=h+h3．
∴h1+h2-h3=h．