Question

线性代数问题：用设矩阵A和B以及A+B可逆，证明A'+B'也可逆，并求其逆阵（暂时用A'表示A的逆矩阵其余类似）

这个问题的答案到底应该是A（A+B）'B还是B（A+B）'A还是两个都对，为什么

Answer 1

A'+B'=A'(A+B)B'=B'(A+B)A'，所以A'+B'可逆，其逆矩阵是A'(A+B)B'的逆矩阵B(A+B)'A，或者B'(A+B)A'的逆矩阵A(A+B)'B。
所以A'+B'的逆矩阵是B(A+B)'A，也可以写作A(A+B)'B。

追问

矩阵的逆矩阵是唯一的，这么说B(A+B)'A和A(A+B)'B相等了？也就是说随便拿出两个可逆的矩阵来都有这个式子成立吗，为什么相等呢？

追答

嗯，B(A+B)'A＝A(A+B)'B。逆矩阵唯一，只是有两种表示形式而已

Answer 2

由题意|A|≠0，|B|≠0，|A+B|≠0
故|A'|≠0；|B'|≠0
AA'=I，BB'=I
所以A'+B'=A'A（A'+B'）BB'=A'（A+B）B'
所以|A'+B'|=|A'||A+B||B'|≠0，即A'+B'可逆
（A'+B')'=(A'（A+B）B')'=A（A+B）'B
当然，B（A+B）'A亦成立