Question

已知f(x)=x/(x-a) (x≠a):(1)若a=-2试证明f(x)在x≤-2内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单减，求x范围

已知f(x)=x/(x-a) (x≠a):(1)若a=-2试证明f(x)在x≤-2内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单减，求x范围

Answer 1

解：(1)a=-2带入方程式得 ：f(x)=x/(x+2)=(x+2-2 )/(x+2)=1-2/(x+2)
即f(x)=1-2/(x+2)
设X2<X1，则 X1-X2 > 0
f(X1) - f(X2)=1-2/(X1+2) - [1-2/(X2+2) ]
=-2/(X1+2) + 2/(X2+2)
=(2X1+4-2X2-4) / (X1+2)(X2+2)
=2(X1-X2) / (X1+2) (X2+2)
因为 X1-X2 > 0
所以 当 X2<X1<-2时
(X1+2) <0 (X2+2)<0
所以(X1+2) (X2+2)> 0
分子分母均>0
所以f(X1) - f(X2)>0
由此证明，当X2<X1<-2时
f(X2)<f(X1)
此函数为递增函数。

(2)f(x)=x/(x-a) 任取 x1,x2属于(1,正无穷),且x1<x2，有
f(x1))-f(x2)=x1/(x1-a)-x2/(x2-a)
=a(x2-x1)/((x1-a)(x2-a))
因为f(x)在(1,正无穷)内单调递减，所以f(x1))-f(x2)>0
又x2-x1>0, a>0 所以(x1-a)(x2-a)>0
所以a的取值范围为：0<a<=1

希望你能看懂

Answer 2

已知f(x)=x/x-a(x≠a)
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞，-2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减，求a的取值范围。
解：(1)a=-2代入函数得：f(x)=x/(x+2)=(x+2-2)/(x+2)=1-2/(x+2)即f(x)=1-2/(x+2)设1<X1<X2<+∞，则X1-X2>0
f(X1)-f(X2)=1-2/(X1+2)-[1-2/(X2+2)]=-2/(X1+2)+2/(X2+2)=(2X1+4-2X2-4)/(X1+2)(X2+2)=2(X1-X2)/(X1+2)(X2+2)
∵X1-X2>0∴当 X2<X1<-2时(X1+2)<0 (X2+2)<0
∴(X1+2)(X2+2)>0分子分母均>0
∴f(X1)-f(X2)>0
∴当X2<X1<-2时f(X2)<f(X1)此函数为递增函数。
(2)f(x)=x/(x-a)
任取x1，x2令1<x1<x2<+∞
有f(x1))-f(x2)=x1/(x1-a)-x2/(x2-a)=a(x2-x1)/(x1-a)(x2-a)
∵f(x)在(1,+∞)内单调递减
∴f(x1))-f(x2)>0又x2-x1>0, a>0
∴(x1-a)(x2-a)>0
∴a的取值范围为：0<a≤1