Question

请教一道初中几何题（原题无图），要求给出完整解答过程。

题目：△ABC中，BC=6，AB=2AC，P为BC延长线上一点，且CP=2．问：当AB变化时，AP的长度是否发生变化，若不变，请求出AP的长；若变化，请说明理由。

Answer 1

AP不会发生变化
用勾股定理解
解：过点A作AF垂直BC于F
所以角AFB=角AFC=角AFP=90度
由勾股定理得：
AB^2=BF^2+AF^2
AC^2=AF^2+FC^2
AP^2=AF^2+FP^2==AF^2+(FC+CP)^2
因为AB=2AC BC=6 CP=2
所以AF^2+FC^2+4FC=12
即：AF^2+(FC+2)^2=AF^2+(FC+CP)^2=16
所以AP=4

追问

“所以AF^2+FC^2+4FC=12”怎么来的？回答太突兀。

追答

因为AB^2=BF^2+AF^2 =(BC-FC)^2+AF^2(1)
AC^2=AF^2+FC^2
把AB=2AC BC=6 CP=2代人（1），（2）*4得：
4AC^2=AF^2+36-12FC+FC^2 (3)
4AC^2=4AF^2+4FC^2
(4)-(3得：
3AF^2+3FC^2+12FC=36
AF^2+FC^2+4FC=12
AF^2+FC^2+4FC+4=16
AF^2+(FC+2)^2=16
因为AP^2=AF^2+FP^2=AF^2+(FC+CP)^2=AF^2+(FC+2)^2=AF^2+FC^2+4FC+4
所以AP^2=16
因为AP>0
所以AP=4

Answer 2

过A作AE⊥CP，交CP于E
设CE=x，AE=y，AC=a，AB=2a，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得：x2+y2=a2①，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：（6+x）2+y2=（2a）2②，
①-②得：-4x=12-a2③，
在Rt△AEP中，根据勾股定理得：
AP2=AE2+EP2=y2+（2-x）2=x2+y2-4x+4，
将①和③代入得：AP2=a2+12-a2+4=16，
开方得：AP=4，
则AP的值为定值，且定值为4．

Answer 3

AP的长度不变，AP=4，就是应用了余弦定理
设AC=m，那么AB=2m
在△ABC中，AB²=BC²+AC²-2AC*BC*cos∠ACB
即：4x²=36+x²-12x*cos∠ACB
所以4x*cos∠ACB=12-x²
而因为∠ACB+∠ACP=180°
所以cos∠ACP=-cos∠ACB
在△ACP中，AP²=AC²+CP²-2AC*CP*cos∠ACP
=x²+4-4x*cos∠ACP
=x²+4+4x*cos∠ACB
=x²+4+12-x²
=16
所以AP=4

追问

虽然上述思路较为自然，但是初中数学并未学余弦定理等。

追答

额，我们是初中就学了的