Question

数列与函数综合题

y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意实数x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)*f(y),若数列｛an｝满足a1=f（0），且f（an+1）=1/f(-2-an),则a2009 的值为 答案是4017

Answer 1

解：
令y=0 x<0
f(x+y)=f(x)=f(x)f(0)
f(x)[f(0)-1]=0
f(x)>1≠0，要等式成立，只有f(0)=1
令y=-x
f(x+y)=f(0)=f(x)f(-x)=1>0，f(x)，f(-x)同号，
x<0时，-x>0 f(-x)>1 0<f(x)<1
f(x)=1/f(-x)
令y=△x，△x>0且趋向于0，0<f(△x)<1
x+△x>x
f(x+△x)=f(x)f(△x)
f(x+△x)/f(x)=f(△x)<1
f(x+△x)<f(x)，函数在R上单调递减。
f[a(n+1)]=1/f(-2-an)=1/f[-(an +2)]=f(an +2)
a(n+1)=an +2
a(n+1)-an=2，为定值。
又a1=f(0)=1，数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an=1+2(n-1)=2n-1
a2009=2×2009-1=4017