Question

高一数学 第12题

Answer 1

sin2x=2sinxcosx
2√2cos(π/4+x)=2√2[cos(π/4)cosx-sin(π/4)sinx]=2(cosx-sinx)
则y=2sinxcosx+2(cosx-sinx)+3
设cosx-sinx=t（-√2≤t≤√2)
则2sinxcosx=1-t^2
∴y=1-t^2+2t=-(t-1)^2+5
当t=-√2时，ymin=-(-√2-1)^2+5=2-2√2

追问

为什么-根号2时t最小 怎么算的

追答

抛物线y=-(t-1)^2+5的开口向下，对称轴为t=1,当-√2≤t√2-1,所以当t=-√2时，y有最小值。

追问

这样为什么就能知道是根号2了

追答

t=cosx-sinx
=√2[(1/√2)cosx-(1/√2)sinx]
=√2[cosxcos(π/4)-sinxsin(π/4)]
=√2cos(x+π/4)
∵-1≤cos(x+π/4)≤1
∴-√2≤t≤√2(这就是t的取值范围）
由y=1-t^2+2t=-(t-1)^2+5可知,
当t=-√2时，ymin=-(-√2-1)^2+5=2-2√2；
当t=1时，ymax=5.

Answer 2

追问

怎么知道负根号二时t最小

追答

关于t的函数开口向下，最小值在端点取到，t的取值范围在负根号2到根号2之间，负根号二离对称轴远，所以t=负根号2时取到最小值（或者两个端点值都带进去分别算一下y，求最小值）