Question

高等数学 定积分的一道题

请问：证明（1）需要什么样的代换，这一类型题目多次出现，请问一般的代换手法是什么?
(2) 问如何用（1）的结论。谢谢!

Answer 1

(1)
设t=π - x
dt = -dx
代入得
I = ∫ (π-t) f(sin(π-t)dt = ∫ πf(sint)dt - ∫ tf(sint)dt = π∫f(sint)dt - I积分限都是[0,π]
所以 I = π/2∫f(sint)dt

(2)由于后面的积分是一个常数，设积分结果为C
那么
f(x) = x/(1+cos^2x) + C
x/(1+cos^2x) * sinx是一个偶函数
Csinx是一个奇函数
所以方程可以写成
C = 2∫xsinx/(1+cos^2x) dx积分限为[0,π]
设f(x) = x / [2-x^2]
那么f(sinx) = sinx / (2-sinx^2) = sinx / (1+cos^2x)
利用结论得
C = π∫ sinx / (1+cos^2x) dx = -π∫ 1/(1+cos^2x)dcosx = -π * [arctan(cosx)] = π^2/2
所以f(x) = x/(1+cos^2x) + π^2/2

Answer 2

第一题用t=PI-x,利用对称性，积分区域为（0，PI），sin(pi-x)=sinx,主要是函数本身性质
这个是sin在（0，pi）的轴对称
第二题，显然最后一项积分为常数（一个定积分）记为C
两边同乘sinx，则f(x)sinx=xsinx/(1+cos^2 x)+csinx
两边（-PI,PI)积分f(x)sinx=-pi积分符号pi x*sinx/(1+cos^2 x)+0(由于sin为奇函数，对称性）
于是等式右边可用上式，左边=C
右边=2*PI/2* 0积分符号PI sin/(2-sin^2x)
所以C=pi^2/2
所以f(x)=x/(1+cos^2 x)+pi^2/2