Question

设y=f在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数，是否为拐点

Answer 1

(x0,f(x0))一定是拐点。
f'''(x0)=lim
f''(x)/(x-x0)。
假设f'''(x0)＞0，根据保号性，在x0的某去心邻域内，f''(x)/(x-x0)＞0，进而在x0的左侧f''(x)＜0，右侧f''(x)＞0，所以(x0,f(x0))是拐点。
假设f'''(x0)＜0，根据保号性，在x0的某去心邻域内，f''(x)/(x-x0)＜0，进而在x0的左侧f''(x)＞0，右侧f''(x)＜0，所以(x0,f(x0))是拐点。

Answer 2

设y=f在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数，是否为拐点
可能为拐点，但未必是。还要保证f''(x0)=0

拐点是凹凸分界点，必须符号这个定义。