Question

已知：抛物线y=x2+mx+6与x轴交于A,B两点，点P是此抛物线的顶点,

(1)当△PAB的面积为1/8时，求抛物线的解析式；
（2）是否存在实数m，能使△ABP为正三角形，若存在，求出m的值；若不存在请说明理由

Answer 1

（1）二次项系数为正,所以开口朝上.
三角形PAB的面积为1/8
即AB*(P点纵坐标绝对值)/2=1/8,
则AB*(P点纵坐标绝对值)=1/4
AB两点分别对应X1和X2
X1+X2=[-(b/a)]=-m
X1*X2=[c/a]=6
AB长=X1-X2=根号[(X1+X2)平方-4X1X2]
=根号(m平方-24)
P点纵坐标=[(4ac-b平方)/4a]=(24-m平方)/4
由(m平方-24)为正
所以P点纵坐标的绝对值=(m平方-24)/4
则根号(m平方-24)*[(m平方-24)/4]=1/4
(m平方-24)*根号(m平方-24)=1
m平方-24=1
m=正负5
所以抛物线y=x2±5x+6
（2）实数m能使三角形PAB为正三角形,则
根号(m平方-24)*2分之根号3=(m平方-24)/4
根号(m平方-24)*2倍根号3=(m平方-24)
根号(m平方-24)=2倍根号3
m平方-24=12
m=正负6

Answer 2

说下解体思路，要是不明白的话就追问我。
（1）利用三角形面积公式表示面积，其中三角形的高是P到x轴的距离，底是x1到x2的距离，也就是x1-x2。利用根系关系就可以求出x1-x2的值，列方程就可以求出m，应该等于5或-5。
（2）注意到等边三角形的高是底的根号3倍，和前一问同样的方式就可以求出m等于6或-6。