Question

已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1（a＞0，b＞0）的离心率为√ 3，右准线方程为x=√ 3/3.

（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值。

Answer 1

1
x^2/a^2- y^2/b^2=1(a>0,b>0), 离心率e=c/a=√3, a^2/c=√3/3
联立方程
c/a=√3，==>c=√3a
将c=√3a带入，得
a^2/c=√3/3
a^2/(√3a)=a/√3=√3/3
a=1
c=√3a=√3
因为：b^2=c^2-a^2=2
所以双曲线C的方程：x^2-y^2/2=1
2

设A，B点坐标为；(x1，y1)，(x2，y2)，则：
AB的中点坐标为：( (x1+x2)/2，y1+y2)/2 )。
依题意得：
x1^2-y1^2/2=x2^2-y2^2/2=1，
x1-y1+m=x2-y2+m=0。
所以(x1^2-x2^2)=(y1^2-y2^2)/2，
x1-x2=y1-y2，
所以 x1+x2=(y1+y2)/2。（上两式相除而得）
又AB的中点在直线x-y+m=0，
所以 (x1+x2)/2-(y1+y2)/2=m，
所以 (x1+x2)/2=-m，(y1+y2)/2=-2m。
故 AB的中点坐标为：(-m -2m)，
代入圆：x^2+y^2=5，得：
(-m)^2+(-2m)^2=5，
所以 m=1，或 -1。
【【不清楚，再问；满意， 请采纳！祝你好运开☆！！】】