Question

an是公比为2的等比数列,若a3-a1=6,则a1=2,求1/a1^2+1/a2^2+...+1/an^2

Answer 1

楼主你好：
由题意可知 1/a1^2+1/a2^2+...+1/an^2是等比数列
∴q=目的等式前一项/后一项=1/2=q；a1=1/2；
Sn= 1/a1^2+1/a2^2+...+1/an^2
=[(1/2)(1-(1/2)的n次方)]/(1-1/2)
=1-(1/2)的n次方

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追问

照你说的数列（1/an^2)是等比数列，貌似是正确地但怎么证明呢？
我算出数列（1/an^2)首项1/4，公比也1/4

因为题干给出an是公比为2的等比数列,a3-a1=6,
可知a1(q^2-1)=6,又q=2
则a1*3=6,a1=2

追答

楼主你好：不好意思哈上面的数值算错了~
∵an是等比数列
∴q=a(n+1)/an=2
又∵目的等式后一项比前一项
=1/[a(n+1)]^2比上1/[a(n)]^2]
=[an/a(n+1)]^2
=(1/q)^2
=1/4
又目的等式的a1=1/(2×2)=1/4 ；q=1/4
∴目的等式是首项为1/4,公比为1/4的等比数列
∴Sn=[(1/4)(1-(1/4)的n次方)]/(1-1/4)
=[1-(1/4)的n次方]/3

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