Question

高二数列

已知{an}为等差数列，公差d≠0,{an}中的部分项组成的数列ak1,ak2,ak3,……,akn……恰为等比数列，且k1=1,k2=5,k3=17
(1)求kn
(2)求证：k1+k2+k3+……+kn=3^n-n-1

Answer 1

解：（1）a^2(5)=a1*a(17),(a1+4d)^2=a1(a1+16d),a1=2d
a1=2d,a5=6d,a17=18d,所以公比为3，
一方面akn=a1*3^(n-1)=2d*3^(n-1)
另一方面，akn=a1+(kn-1)d=2d+(kn-1)d=(kn+1)d
所以2d*3^(n-1)=(kn+1)d，所以kn=2*3^(n-1)-1
(2）k1+k2+……+kn=2*3^0-1+2*3^1-1+……+2*3^(n-1)-1
=2*(1-3^n)/(1-3)-n=3^n-n-1

Answer 2

(1) ak1=a1 ak2=a1+4d ak3=a1+16d
a1(a1+16d)=(a1+4d)^2
a1^2+16a1d=a1^2+8a1d+16d^2
8a1d=16d^2 a1=2d an=2d+(n-1)d=(n+1)d
ak1=a1=2d ak2=6d ak3=18d
部分项组成的等比数列的首项为a1,公比q=3
akn=2d*3^(n-1) kn=2*3^(n-1)-1
(2) k1+k2+……+kn=1+5+17+……+2*3^(n-1)-1
=2*3^0+2*3^1+2*3^2+……+2*3^(n-1)-n
=2*(3^n-1)/(3-1)-n
=3^n-n-1