Question

若方程根号3sinx+cosx=a在[0，2π]上有两个不同的实数根x1,x2，求a的取值范围,并求此时x1+x2?

Answer 1

9-9cos²x=cos²x-2acosx+a²，10cos²x-2acosx+a²-9=0，Δ>0,a²<√10，-√10<a<√10，
1-sin²x=9sin²x-6asinx+a²，10sin²x-6asinx+a²-1=0，Δ>0,a²<√10，-√10<a<√10，则a的取值范围(-√10,√10)；cosx1=[a+3√(10-a²)]/10，cosx2=[a-3√(10-a²)]/10，sinx1=[3a-√(10-a²)]/10，sinx2=[3a+√(10-a²)]/10，cos(x1+x2)=[a+3√(10-a²)][a-3√(10-a²)]/100-[3a-√(10-a²)][3a+√(10-a²)]/100=-4/5，sin(x1+x2)=[3a-√(10-a²)][a-3√(10-a²)]/100+[a+3√(10-a²)][3a+√(10-a²)]/100=3/5，x1、x2在[0，2π]上，此时x1+x2为二象限角x1+x2=arcsin(3/5)=arccos(-4/5)。

Answer 2

只需要把下面m换成你题目中的a即可
sinx+√3cosx=m
sinx*1/2+√3cosx/2=m/2
sin(x+π/3)=m/2
当-2<=m<=2时 【如果|m|>2,那么x无解】
x1+π/3=arcsin(m/2)+2kπ k为整数
x1=arcsin(m/2)-π/3+2kπ
x2+π/3=π-arcsin(m/2)+2kπ
x2=2π/3-arcsin(m/2)+2kπ
要求x1,x2在（0，2π）内，且不相等
arcsin(m/2)不等于π/2，-π/2,π/3和2π/3
m不等于2，-2,√3
所以-2<m<√3和√3<m<2

Answer 3

分析：设函数y1＝3sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．
解：设f(x)＝3sinx＋cosx＝2sinx＋π6，x∈[0,2π]．
令x＋π6＝t，则f(t)＝2sint，且t∈π6，13π6.在同一平面直角坐标系中作出y＝2sint及y＝a的图象，从图中可以看出当1＜a＜2和－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解．
当1＜a＜2时，t1＋t2＝π，
即x1＋π6＋x2＋π6＝π，
∴x1＋x2＝2π3；
当－2＜a＜1时，t1＋t2＝3π，
即x1＋π6＋x2＋π6＝3π，
∴x1＋x2＝8π3.
综上可得，a的取值范围是(1,2)∪(－2,1)．
当a∈(1,2)时，x1＋x2＝2π3；
当a∈(－2,1)时，x1＋x2＝8π3.