Question

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已知五边形ABCDE内接于大圆○O 外切与小圆○O 切点分别是A’、B’、C’、D’E’，求证 ：五边形ABCDE是正五边形

，

Answer 1

证明：连OA,OB,OA'
因为AB是圆的切线
所以OA'⊥AB
因为OA=OB
所以AA'=BA'(等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合)
同理AE'=EE'
因为AB,AE是圆的切线
所以AA'=AE'
所以AB=AE=2AA'=2AE'
同理AB=BC=CD=DE=EA,
所以A,B,C,D,E是圆的五等分点
所以ABCDE是正五边形

Answer 2

把O和所有标注点连起来
∵5边都与小圆相切
∴OA'⊥AB OB'⊥BC OC'⊥CD OD'⊥DE OE'⊥AE
且OA'=OB'=OC'=OD'=OE'
且OA=OB=OC=OD=OE
这些条件可以证所有的三角形全等
就知道是正五边形了

Answer 3

过小原o向A'B'作垂线，过大圆o向A'B'作垂线，其实就可以知道这两条线是重合的（因为都是A'B'的垂直平分线），既大圆和小圆一个圆心。所以小圆所有与大圆相交的切线都相等，既五边形的五条边都相等。