Question

已知A和B都是n阶矩阵，且E-AB是可逆矩阵，证明E-BA可逆

最好用反证法

Answer 1

反证，若E-BA不可逆，则存在X不为0，使(E-BA)X=0 (方和有非零解) -> X=BAX ，则(E-AB)AX=AX-ABAX=AX-AX＝0
也即(E-AB)Y=0有非零解(其中Y=AX)，与题设矛盾，所以E-BA可逆，但这种证法不能求其逆的具体表示

Answer 2

set C st C(E-AB)=(E-AB)C=E
then
(E-AB)C=E
B(E-AB)CA=BA
BCA-BABCA-BA+E=E
(E-BA)BCA +(E-BA)=E
(E-BA)(BCA+E)=E

and (BCA+E)(E-BA)=BCA-BCABA+E-BA=E
so E-BA is reversible