Question

对任意实数x y恒有f(x+y)=f(x)+f(y) (1) 求f(0)的值，并证明f(x)是奇函数 (2) 若f(1)=3 ，求f(-3)的值

Answer 1

1
令y=0
f(x)=f(x)+f(0)
f(0)=0
令y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)
f(-x)=f(x),定义域为R
∴f(x)为奇函数
2.
f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=9
∵f(x)为奇函数
∴f(-3)=-f(3)=-9

追问

第一题看不太懂 可以直接令y=0 令y=-x吗

追答

可以直接令

Answer 2

解：
（1）f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0
证明如下不妨令y=-x,带入恒等式中有
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
即f(-x)=-f(x),函数同时过原点
所以该函数为奇函数
（2）由题意可得f(1+1)=f(2)=f(1)+f(1)=6
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=9
f(-3)=-f(3)=-9