Question

f(x)=(ax^2+x)e^2,若f(x)在[-1,1]上是单调增函数，求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=(ax^2+x+2ax+1)e^x
=(ax^2+(2a+1)x+1)e^x
若f(x)在[-1,1]上是单调增函数，
则 在[-1,1]上 f'(x)>=0恒成立 e^x>0, 所以只需 ax^2+(2a+1)x+1>=0
（1）a>0 u=ax^2+(2a+1)x+1 对称轴x=-2-1/a
函数u在[-1,1]上是增函数，所以
x=-1 u=a-2a>=0 a<=0 舍
（2） a=0 u=x+1 在[-1,1]上 u>=0恒成立
所以 a=0 满足条件
（3） a<0 u=ax^2+(2a+1)x+1 对称轴x=-2-1/a
(i) -2-1/a<=0 即a<=-1/2
x=1 u=3a+2>=0 a>=-2/3 所以 -2/3<=a<=-1/2
（ii）-2-1/a>0 即 -1/2<a<0
x=-1 u=a-2a>=0 a<=0 所以-1/2<a<0

综上可得a的取值范围
-2/3<=a<=0

追问

若这个函数在这个区间范围内单调递减，那么u是<0吗

追答

若这个函数在这个区间范围内单调递减，那么u是<=0

Answer 2

对函数f(x)求一阶导函数
f'(x) = (2ax + 1) * e ^ 2
据题意有f'(x)在(-1, 1)恒大于零
而f'(-1) = (1 - 2a) * e ^ 2，f'(1) = (1 + 2a) * e ^ 2
根据其二阶导数f''(x) = 2 * a * e ^ 2可知
当a > 0时，一阶导函数f'(x)在(-1, 1)单调递增，为了满足题目要求，f'(-1) >= 0，解得0 < a <= 1/2
当a = 0时，一阶导函数f'(x)在(-1, 1)是常数，此时f'(-1) = f'(1) = e ^ 2 > 0，满足题目要求
当a < 0时，一阶导函数f'(x)在(-1, 1)单调递减，为了满足题目要求，f'(1) >= 0，解得-1/2 <= a < 0
综上可知a的取值范围是[-1/2, 1/2].