Question

已知函数f(x)=a(x-1)/x^2,其中a>0,（1）求函数f(x)的单调区间。

（2）若直线x—y—1=0是直线y=f(x)的切线，求的值。（3）设g(x)=xlnx—x^2乘以f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最大值。（其中e为自然对数的底数)
第二问求a

Answer 1

(1)
给你个提示吧，你肯定会的，
第一步求导，没问题吧。
第二步，由导函数大于0解出增区间，由导函数小于0解出减区间，解二次不等式没有问题吧。
如果这两步都没有问题，这个小题你就会了。
(2)
会求以曲线上一点为切点的切线方程吗？（即：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) )
如果会，那这个小题你也会：
第一步，设切点(x0,f(x0)
第二步，写出切线方程
第三步，与已知切线方程比较，列出关于x0和a的方程组（这是关键一步）
第四步，解出两个未知数
(3)
此处是不是应该把a的值给出来，（注意，上小题的结论此处是不能用的）

Answer 2

f(x)=a(x-1)/x^2
f(x)'=[2a(x-1)x-ax^2]/x^4

=a(x-2)/x^3

当x＜0时，f(x)'＞0，f(x)的单调递增；
当0＜x＜2时,f(x)'＜0，f(x)的单调递减；
当x≥2时,f(x)'＞0，f(x)的单调区间递增。

追问

二 三问呢 第二问求a

追答

2.
f(x)=a(x-1)/x^2的切线方程斜率为
k=f‘(x)=a(x-2)/x^3
a(x-2)/x^3=1
即切点满足a(x-2)=x^3
a=x^3/(x-2)
f(x)=[x^3/(x-2)](x-1)/x^2=x(x-1)/(x-2)=y=x-1
x=1
即切点为(1,0)
a=x^3/(x-2)=-1;

3.
g(x)=xlnx-x^2*f(x)=xlnx-a(x-1)
g'(x)=lnx+1-a
g(x)在x=e^(a-1)处有拐点，

当x＞e^(a-1)时，g'(x)＞a-1+1-a=0,g(x)单调递增，
当x＜e^(a-1)时，g'(x)＜a-1+1-a=0,g(x)单调递减，
(1)0＜a＜1时，0＜e^(a-1)＜1,
x＞e^(a-1)＞0时,g(x)单调递增，g(x)在区间[1,e]上g(e)=e-a(e-1)为极大值；
x＜e^(a-1)＜1时,g(x)单调递减，g(x)在区间[1,e]上无极值；

则最大值为(1-a)e-a
(2)1≤a≤2时，1≤e^(a-1)≤e,
1≤e^(a-1)＜x≤e时,g(x)单调递增，g(x)在区间[1,e]上g(e)=e-a(e-1)为极大值；
x＞e＞e^(a-1)时,g(x)单调递增，g(x)在区间[1,e]上无极大值；
x≤1≤e^(a-1)时,g(x)单调递减，g(x)在区间[1,e]上g(1)=0为极大值；

1≤x＜e^(a-1)≤e时,g(x)单调递减，g(x)在区间[1,e]上g(1)=0为极大值；
又当e-a(e-1)＞0时a＜e/(e-1)
所以
1≤a＜e/(e-1)最大值为e-a(e-1)
e/(e-1)≤a≤2最大值为0

(3)a＞2时，e^(a-1)＞e,
x＞e^(a-1)＞e时，g(x)单调递增，g(x)在区间[1,e]上无极大值；
e＜x＜e^(a-1)时，g(x)单调递减，g(x)在区间[1,e]上无极大值；
1≤x＜e＜e^(a-1)时，g(x)单调递减，g(x)在区间[1,e]上g(1)=0为极大值；

则最大值为0

综上所述
0＜a＜1时，g(x)在区间[1,e]上最大值为e-a(e-1)；
1≤a＜e/(e-1)时，g(x)在区间[1,e]上最大值为e-a(e-1)
e/(e-1)≤a≤2时，g(x)在区间[1,e]上最大值为0
a＞2时，g(x)在区间[1,e]上最大值为0；

Answer 3

1〉f'<x>=-a(x-2)/x^3 增区间为0<x<=2 减区间为x<=0和x>2 2〉相切则必有交点，方程与直线联解得x=1或x=- a^(1/2)，代入f'<x>=1解得a=1

Answer 4

推荐回答做错了。。。