Question

已知函数f(x)=lnx－ax＋﹢[(1－a)／x]－1(a∈R)

（1）当=-1时求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
（2）当a≤1/2时，讨论f(x)的单调性

Answer 1

函数f(x)求导，然后讨论，自己做 已知f(x)=lnx-ax+(1-a)/x-1 f'(x)=-(x-1)[(x-(1-a)/a)]/x <0 此时， f(x)单调减。.

Answer 2

（1）当a=-1时，f（x）=1nx+x+2/x-1，x∈（0，+∞），
所以f′（x）=1x+1-2x2，因此，f′（2）=1，
即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，
又f（2）=1n2+2，y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（1n2+2）=x-2，
所以曲线，即x-y+1n2=0；
（2）因为f(x)=lnx-ax+
1-a/x-1，
所以f′(x)=
1/x-a+
a-1/x^2=-
ax2-x+1-ax2，x∈（0，+∞），
令g（x）=ax2-x+1-a，x∈（0，+∞），
（1）当a=0时，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞），
所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，
此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递增减；
（2）当a≠0时，由g（x）=0，
即ax2-x+1-a=0，解得x1=1，x2=1a-1．
①当a=12时，x1=x2，g（x）≥0恒成立，
此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当0＜a＜1/2时，1/2-1＞1＞0
x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
x∈（1，1a-1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
x∈（1a-1，+∞）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
③当a＜0时，由于1a-1＜0，
x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0函数f（x）单调递减；
x∈（1，∞）时，g（x）＜0此时函数f′（x）＜0函数f（x）单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在（1，+∞）上单调递增
当a=1/2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
当0＜a＜1/2时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在（1，1a-1）上单调递增；
函数f（x）在（1a-1，+∞）上单调递减．