已知函数f(x)=lnx-ax+﹢[(1-a)/x]-1(a∈R)

(1)当=-1时求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a≤1/2时,讨论f(x)的单调性... (1)当=-1时求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当a≤1/2时,讨论f(x)的单调性
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2012-08-01 · TA获得超过274个赞
知道小有建树答主
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函数f(x)求导,然后讨论,自己做 已知f(x)=lnx-ax+(1-a)/x-1 f'(x)=-(x-1)[(x-(1-a)/a)]/x <0 此时, f(x)单调减。.
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刘悦15
推荐于2019-06-14 · TA获得超过1.1万个赞
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(1)当a=-1时,f(x)=1nx+x+2/x-1,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=1x+1-2x2,因此,f′(2)=1,
即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为1,
又f(2)=1n2+2,y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(1n2+2)=x-2,
所以曲线,即x-y+1n2=0;
(2)因为f(x)=lnx-ax+
1-a/x-1,
所以f′(x)=
1/x-a+
a-1/x^2=-
ax2-x+1-ax2,x∈(0,+∞),
令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞),
(1)当a=0时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞),
所以,当x∈(0,1)时,g(x)>0,
此时f′(x)<0,函数f(x)单调递增减;
(2)当a≠0时,由g(x)=0,
即ax2-x+1-a=0,解得x1=1,x2=1a-1.
①当a=12时,x1=x2,g(x)≥0恒成立,
此时f′(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
②当0<a<1/2时,1/2-1>1>0
x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
x∈(1,1a-1)时,g(x)>0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
x∈(1a-1,+∞)时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
③当a<0时,由于1a-1<0,
x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f′(x)<0函数f(x)单调递减;
x∈(1,∞)时,g(x)<0此时函数f′(x)<0函数f(x)单调递增.
综上所述:
当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减;
函数f(x)在(1,+∞)上单调递增
当a=1/2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减
当0<a<1/2时,函数f(x)在(0,1)上单调递减;
函数f(x)在(1,1a-1)上单调递增;
函数f(x)在(1a-1,+∞)上单调递减.
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