Question

如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．

（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，
所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等；
2）△OMN是等腰直角三角形。
证明：连接OA，如图，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，
∴∠NAO=45°，
∴∠NAO=∠B，
在△NAO和△MBO 中，
AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，
∴△NAO≌ △MBO，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∵AC=AB，O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠NOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

Answer 2

1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，
所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等；
2）△OMN是等腰直角三角形。
证明：连接OA，如图，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，
∴∠NAO=45°，
∴∠NAO=∠B，
在△NAO和△MBO 中，
AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，
∴△NAO≌ △MBO，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∵AC=AB，O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠NOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

Answer 3

（1）相等吧应该 BO=OC AO=0.5BC=BO=OC
(2)应该等腰直角 三角形BOM AON 全等 ON=OM 角BOM加角CON等于九十度 所以角MON九十度

Answer 4

1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，
所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等；
2）△OMN是等腰直角三角形。
证明：连接OA，如图，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，
∴∠NAO=45°，
∴∠NAO=∠B，
在△NAO和△MBO 中，
AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，
∴△NAO≌ △MBO，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∵AC=AB，O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠NOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．