Question

高等代数的一道题

设n次多项式f(x)满足条件：f(x)的导数整除f(x)。证明：f(x)有n重根。

Answer 1

我们以在一个域F上的一元n次多项式f(x)为例：设K为f(x)在F上的分裂域，且f(x)=g(x)(x-a)^k,k<=n,g(a)不等于0，则f`(x)=h(x)(x-a)^(k-1),其中h(x)=kg(x)+(x-a)g`(x),我们知道，如果f(x)有重根，则gcd(f(x),f`(x))不等于1，而若gcd(f(x),f`(x))=f`(x),即f`(x)|f(x)，则有g(x)=1（因为gcd(h(x),g(x)(x-a))=1)，那么k=n，所以f(x)就有n重根了……

Answer 2

Answer 3

这个数上应该有证明过程