Question

已知P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=3,PD=根号7,求角APD的大小

Answer 1

设正方形边长为a，角BAP=b，所以角DAP=90-b

cosb=(AP^2+AB^2-BP^2)/2AP*AB=(a^2-8)/2a ------------------①式
cos(90-b)=sinb=(AP^2+AD^2-DP^2)/2AP*AD=(a^2-6)/2a ------------------②式

将①式②式两边平方后相加，
得(cosb)^2+(sinb)^2=[(a^2-8)/2a]^2+[(a^2-6)/2a]^2=1

令a^2=t，
化简得t^2-16t+50=0
解得t=8±√14

由于cosb=(a^2-8)/2a>0 [角BAP<90]
所以a^2=t>8
所以t=8+√14

cos角APD=(AP^2+DP^2-AD^2)/2AP*DP
=(8-a^2)/2√7
=(8-t)/2√7
= -√14/2√7
= -√2/2

且角APD在（0，180）内
所以角APD=135

Answer 2

三个三角形APB，BPD，DPA
AB=a
BD=sqrt(2)a
DA=a
AP=1
BP=3
DP=sqrt(7)
角BAP+PAD=90
ABP+PBD=45
BDP+PDA=45
用正弦定理解即可