Question

已知f(x)=x^2-alnx.(1)若a=2,求证:f(x)在（1，正无穷）上是增函数.(2)求f(x)在[1,e]上的最小值

Answer 1

1、f'(x)=2x-2/x=2（x^2-1)/x=2(x+1)(x-1)/x,
在区间（1，+∞）内，
∵x>1,
∴x+1>0,x-1>0,x>0,
∴2(x+1)(x-1)/x>0,
∴区间（1，+∞）内是增函数。
2、f'(x)=2x-a/x,
2x-a/x>0,
则a<=2时，
∵区间[1，+∞）内是增函数，
∴区间[1，e]时
∴当x=1时最小，
f(x)(min)=1^2-aln1=1.
当a>=2时，
f'(x)=2x-a/x<0,是减函数，
x=e时最小，
(x)(min)=e^2-alne=e^2-a.

Answer 2

两位童鞋解题过程很详细了 说一下思想吧
单调性 极值问题
求函数一阶导，
（1）将区间的变量值代入，正增负减
（2）令导数=0，求出x值（可能是多个），和区间端点处x值（例如本题，就是1和e）
将所有的x值分别代回原函数，得出相应个f(x)的值，进行比较，最小的就是要的结果了

Answer 3

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