Question

设a∈R,函数f(x)=（x-a）/lnx，F(x)=根号x

设a∈R,函数f(x)=（x-a）/lnx，F(x)=根号x (1)当a=0时，比较f(2e+1)与f(3e)的大小；(2)若存在实数a，使函数f(x)的图像总在函数F(x)的图像的上方，求a的取值集合

导数也可以解吗？？

Answer 1

f(x)=(x-a)/lnx, F(x)=√x

1) 当a=0时，f(x)=x/lnx，求导f'(x)=(lnx-1)/(lnx)^2

当x>e时，lnx-1>0，f'(x)>0，f(x)为单调增函数

3e=2e+e>2e+1>e，∴f(2e+1)<f(3e)

2) f(x)=(x-a)/lnx的图像总在F(x)=√x的上方，即(x-a)/lnx>√x恒成立

设g(x)=f(x)-F(x)=(x-a)/lnx-√x，定义域为x>0，即g(x)>0恒成立

当a<0时，x-a>0，在x∈(0,1)上lnx<0，(x-a)/lnx<0，不等式不成立

当0≤a<1时，在x∈(1,2)上，0<x-a<2，而√x>1，不等式不恒成立

当a>1时，在x∈(0,1)上，x-a<0， 不等式不成立

当a=1时，在x∈(0,1)上，x-a<0,lnx<0，(x-a)/lnx>0，不等式恒成立

∴a的取值为a=1

 

（第二问其实解析解法没有严格做出来，画图看出来的，哈哈）