Question

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Answer 1

x1=1,x2=2
x3=√(x1x2)
x4=√(x3x2)=√(x2√(x1x2))
x5=√(x4x3)=√(x2√(x1√(x1x2)))
x6=√(x5x4)=√(x2√(x1√(x2√(x1x2))))
x7=√(x6x5)=√(x2(√(x1√(x2√(x1√(x1x2)))))
……
分两类（除去x1,x2因为极限与前有限项无关）
1.下标为奇数：
xn=√(x2√(x1*x(n-2)))=√(2√(x(n-2))……1
用数学归纳法可得：xn<2^(2/3)
又有：xn-x(n-2)=√(2√(x(n-2))-x(n-2)=√(2√(x(n-2))-√(x(n-2)^(3/2)√(x(n-2)))
明显：2>x(n-2)^(3/2)
即：xn-x(n-2)>0，即：xn单调递增
根据单调有界定理：
xn必有极限，设为a
那么，对1式同取极限n→∞，化简即有：a^4=4a，a=2^(2/3)
2.下标为偶数：
xm=√(x2√(x1*x(m-2)))=√(2√(x(m-2))……2
同理：
用数学归纳法可得：xm<2^(2/3)
又有：xm-x(m-2)=√(2√(x(m-2))-x(m-2)=√(2√(x(m-2))-√(x(m-2)^(3/2)√(x(m-2)))
明显：2>x(m-2)^(3/2)
即：xm-x(m-2)>0，即：xm单调递增
根据单调有界定理：
xn必有极限，设为b
那么，对2式同取极限n→∞，化简即有：b^4=4b，b=2^(2/3)
综合上述，
因为当下标为奇数：lim xn=2^(2/3)，n→∞
当下标为偶数：lim xm=2^(2/3)，n→∞
那么，lim xn=2^(2/3)，n→∞
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Answer 2