Question

如图，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道， AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R。

一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动。已知P点与圆弧的圆心o等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ。求 为使物体在圆弧轨道内沿圆弧轨道运动，释放点距B点的距离L满足什么条件
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Answer 1

分析：因为物体释放后能沿斜面下滑，说明物体不可能停在斜面上。
一、若物体在圆弧轨道刚好能上升到C点（与圆心O等高），则对应的 L 值设为 L1
则从释放到C点，由动能定理　得　（mg*sinθ－μ*mg*cosθ）L1－mg*R*cosθ＝0－0
所以　L1＝R*cosθ /（sinθ－μ*cosθ）

二、若物体能上升到D点，设在D点时物体刚好不受轨道弹力，这时它的速度是 V0，对应的 L 值设为L2
则在D点有　mg＝m*V0^2 / R
得　V0＝根号（gR）
从释放到D点，由动能定理　得　
（mg*sinθ－μ*mg*cosθ）L2－mg*R*（1＋cosθ）＝（m*V0^2 / 2）－0
即　（mg*sinθ－μ*mg*cosθ）L2－mg*R*（1＋cosθ）＝mgR / 2
所以　L2＝ R*（3＋2*cosθ）/ [ 2*（sinθ－μ*cosθ）]
　　可见，要物体能沿圆弧轨道运动而不脱离圆弧轨道（在D点飞出后除外），L要满足的条件是：
L≦L1　，即　L≦R*cosθ /（sinθ－μ*cosθ）
或　L≧L2　，即　L≧R*（3＋2*cosθ）/ [ 2*（sinθ－μ*cosθ）]

追问

L≦L1，L≧L2为什么

追答

L ≦L1，对应物体在斜面和圆弧BC段往复运动，不会脱离圆弧轨道而抛到空中。
L≧L2，对应物体从斜面下滑后，能沿圆弧轨道一直上升到D点后才抛出。即不会在途中离开圆弧轨道。

追问

L ≦L1，对应物体在斜面和圆弧BC段往复运动，不会脱离圆弧轨道而抛到空中
为什么？

追答

就是说，当满足L ≦L1时，物体在圆弧轨道中最多只能到达C点，在C点的下方是不会脱离轨道的。
如果L＞L1，那么物体就可以上升到比C点更高一些的其他地方，就可能在没有到达D点的情况下离开圆弧轨道了。

Answer 2

在圆弧内能量是守恒的，所以不妨研究物体从释放点到D（研究最小情况），点D处速度v最小为√gr,重力做负功为-mgr,而在释放点处，其高度并不是Lsunθ，还需要加上图中半径下的一小段距离，就是r-rcosθ,而在直线处是有摩擦力做功的，做的功即为μmgcosθL,所以有mv²r-mgr＝mg（Lsinθ＋r-rcosθ）-μmgcosθL，此时求的是L的最小值，所以L的范围只要大于等于这个最小值。

Answer 3

给你提个思路，在PB之间有摩擦损耗，因此速度减小，你要让他在B点时速度变为0，这样它就会在圆弧上不停地往返运动而没有能量损耗了

Answer 4

不知道是不是
R/(sin+cos)