Question

已知向量a=（2，1）与向量b=（1，2），要使向量a+t倍向量b的绝对值最小，

已知向量a=（2，1）与向量b=（1，2），要使向量a+t倍向量b的绝对值最小，则实数t的值为多少

Answer 1

向量a与T倍向量b的和的模的平方：(2+T)^2+(1+2T)^2=5T^2+8T+5
当T=-4/5时，5T^2+8T+5的值最小，为 9/5 。所以当T为-4/5时，长度最小，为(9/5)^0.5

Answer 2

S=|a+tb|^2
=(2+t)^2+(1+2t)^2
S' = 2(2+t)+4(1+2t)=0
4+2t+4+8t=0
t=-4/5
S''= 2+8 >0 (min)
min S
= S(-4/5)
=(2-4/5)^2+(1-8/5)^2
=4/25+9/25
=13/25
min |a+tb| = √13/5