Question

如图△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC的中点,AE⊥BM于E并延长交BC于D,求证∠AMB=∠CMD

Answer 1

证明：法（1）如图，延长AD至F，使得CF⊥AC，

 

 

∵AB⊥AC，AD⊥BM，
∴∠ABM=∠DAC，
又∵AB=AC，CF⊥AC，
∴△ABM≌△CAF，
∴∠BMA=∠F，AM=CF，
∵∠BCA=∠BCF=45°，AM=CM=CF，DC=DC，
∴△FCD≌△MCD，
∴∠AMB=∠F=∠CMD；

法（2）AD交BM于E，作∠BAC的平分线交BM于N，
∵AE⊥BM，BA⊥AC，
∴∠ABN=∠CAE，
∵∠BAN=∠C=45°，AB=AC，
∴△BAN≌△ACD．
∴AN=CD，
∵∠NAM=∠C=45°，AM=MC 
∴△NAM≌△DCM，
∴∠AMB=∠CMD．

Answer 2

证明：过点C作CF平行AB与AD的延长线相交于点F
所以角BAC+角ACF=180度
因为角BAC=90度
所以角ACF=90度
因为AB=AC
所以三角形BAC是等腰直角三角形
所以角ACB=45度
AB=AC
所以角FCD=角ACF-角ACB=45度
所以角MCD=角FCD=45度
因为角BAC=角BAE+角FAC=90度
因为AE垂直BM
所以角AEB=90度
因为角AEB+角ABM+角MBA=180度
所以角MBA+角BAE=角BAE+角FAC=90度
所以角MBA=角FAC
因为角BAC=角ACF=90度（已证)
AB=AC
所以三角形MBA和三角形FAC全等（ASA)
所以角AMB=角F
AM=CF
因为M是AC的中点
所以AM=MC
所以MC=CF
因为角MCD=角FCD=45度
CD=CD
所以三角形MCD和三角形FCD全等（SAS)
所以角F=角CMD
所以角AMB=角CMD

Answer 3

因为点M为AC的中点，所以AM=AC/2=AB/2,所以角ABM=30'.AMB=60'，同里就行了