Question

已知函数f(x)=x^3+(1+a)x^2-[a(a+2)x]+b(a,b属于R)（1）若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是

-3求a,b的值 （2）若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围。

Answer 1

(1)
若函数f(x)的图像过原点，则f(0)=b=0

f(x)=x^3+(1+a)x^2-a(a+2)x

f'(x)=3x^2+2(1+a)x-a(a+2)

若在原点处的切线斜率是-3，则f'(0)=-a(a+2)=-3、a=-3或a=1。

(2)
f(x)有极值，且f'(x)=3x^2+2(1+a)x-a(a+2)在区间(-1,1)上有零点。

判别式=4(1+a)^2+12a(a+2)=16a^2+32a+4=4(4a+1)(a+1)>0，a<-1或a>-1/4。

1)若f'(x)在区间(-1,1)上有一个零点

则f'(-1)*f(1)=[3-2(1+a)-a(a+2)][3+2(1+a)-a(a+2)]=(a^2+4a-1)(a^2-5)<0

-1-√5<a<-√5或-1+√5<a<√5

2)若f'(x)在区间(-1,1)上有两个零点

则-1<-(1+a)/3<1(对称轴)，且f(-1)=3-2(1+a)-a(a+2)>0、f(1)=3+2(1+a)-a(a+2)>0

解得：-√5<a<-1或-1/4<a<-1+√5

可经验证：a=+-√5或a=-1+-√5时，命题成立。

综上所述，a的取值范围是：[-1-√5,-1)U(-1/4,√5]。

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Answer 2

f(x)求导 为 3x^2+2*(1+a)x-a*(a+2)
过(0,0)则b=0 切线k=-a*(a+2)=-3 a=1 a=-3
函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，则 有f(x)的导数 在x(-1,1)上内 必有导数为0
有 f"(1)*f"(-1)<0 带入 (5-a^2)(1-2a-a^2)<0
a=±5^0.5 a=±2^0.5-1
然后讨论 是否<0 （-∞,-√5)U(-√2-1,√2-1)U(√5,+∞)