Question

全微分方程求解 就这个方程求解的时候，对X积分就是两项都保留了，对y积分怎么就只剩下y的立方这一项。

Answer 1

P(x,y)=x³-3xy² ∂P(x,y)/∂y=-6xy
Q(x,y)=y³-3x²y ∂Q(x,y)/∂x=-6xy
因此：(x³-3xy²)dx+(y³-3x²y)dy = du(x,y) 是全微分方程。
其通解为：
u(x,y) = ∫(x,x0) P(x,y)dx + ∫(y,y0) Q(x0,y)dy
取x0=0，y0=0 ,那么：
u(x,y) = ∫(x,0) P(x,y)dx + ∫(y,y0) Q(0,y)dy
= ∫(x,0) (x³-3xy²)dx + ∫(y,0) y³dy

Answer 2

这是通常教材上的公式，选的路径是A(0 ,0)-B(0,y)-C(x,y).在AB上x=0,积分区间是0到y,代入后就无x.在BC上，y=y,积分区间是0到x,是第一个积分。