Question

设函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c为实数,且a≠0),f(x)={f(x)x>0 －f(x)x<0。

（1）若f（﹣1）=0曲线y=f（x）通过点（0,2a+3），且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈【﹣1,1】时，g（x）=kx-f（x）的单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn<0，m+n>0，a>0，且f（x）为偶函数，证明f（m）+f（n）>0.

Answer 1

解：（Ⅰ）因为f（x）=ax2+bx+c，所以f'（x）=2ax+b．
又曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．①
因为f（-1）=0，所以b=a+c．②
又因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），
所以c=2a+3．③
解由①，②，③组成的方程组，得a=-3，b=-6，c=-3．
从而f（x）=-3x2-6x-3．
所以F(x)= -3(x+1)2 x＞0 3(x+1)2 x＜0. （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-3x2-6x-3，
所以g（x）=kx-f（x）=3x2+（k+6）x+3．
由g（x）在[-1，1]上是单调函数知：-k+6 6 ≤-1或-k+6 6 ≥1，
得k≤-12或k≥0
（Ⅲ）因为f（x）是偶函数，可知b=0．
因此．
又因为mn＜0，m+n＞0，
可知m，n异号．
若m＞0，则n＜0．
则F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+c-an2-c=a（m+n）（m-n）＞0．
若m＜0，则n＞0．
同理可得F（m）+F（n）＞0．
综上可知F（m）+F（n）＞0．