Question

已知f（x）是偶函数 ，在（负无穷，0]上单调递减，又 f(-2)=0。 解不等式xf(x)<0

Answer 1

f(x)是偶函数，在(负无穷，0]上单调递减，那么f(x)是关于y轴对称的，又因为 f(-2)=0，则f(2)=0,
所以有在(负无穷，-2)和(2，正无穷)上f(x)>0,在(-2，2)上f(x)<0,
所以xf(x)<0,
有(负无穷，-2)和(0，2)

Answer 2

x<-2 或 0<x<2

Answer 3

由单调性有：当x<-2时，f(x)>0；
结合奇偶性有：当-2<x<2时，f(x)<0；
当x>2时，f(x)>0.
故显然可得，当x<-2,或0<x<2时，xf(x)<0.
(注：结合图像法更加直接，思考起来也更容易。)

Answer 4

f(x)为偶函数，在(负无穷，0]上单调递减，则在[0,正无穷）单调递增，又因为f(-2)=0,则f(2)=0，容易得出在(-2,2)上f(x)<0，(负无穷,-2)上，f(x)>0；(2,正无穷),f(x)>0；则xf(x)<0可解得：x<-2或者0<x<2

Answer 5

因为f(x)偶函数，所以在0到正无穷上单调增，且f(2)=0
所以有
x∈（﹣无穷，-2），f(x)>0
x∈（﹣2,0），f(x)<0
x∈（0,2），f(x)<0
x∈（0,无穷），f(x)>0

所以xf(x)<0的解为（﹣无穷，-2）和（0,2），