Question

已知数列{An}中，a1=1,前n项和Sn=（n+2）/3an,求a1,a3?和{An}的通项公式？

Answer 1

a1=1,
S2=a1+a2=(4/3)a2, 1+a2=(4/3)a2 a2=3
S3=a1+a2+a2=1+3+a3=((5/3)a3, a3=6
猜测：an=n(n+1)/2
证明：a1=1=1*2/2 a2=3=2*3/2, a3=6=3*4/2,
对n=1,2,3时都正确（实际上只要验证n=1即可）
设n<k时成立,即当n<k时 an=n(n+1)/2,
则当n=k时：
Sk=a1+a2+a3+.....+a(k-1)+ak=[(k+2)/3]ak
1*2/2+2*3/2+3*4/2+.....+(k-1)k+ak=[(k+2)/3]ak
(k-1)k(k+1)/(1*2*3)+ak=[(k+2)/3]ak
(k-1)k(k+1)/(1*2*3)=[(k+2)/3-1]ak=[(k-1)/3]ak
ak=k(k+1)/2.
即当n=k时成立，故an=n(n+1)/2.
这里利用了公式：
1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)=(n(n+1)(n+2)/3
证明方法有三：
1.利用待定系数法，设1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)=b*n^3+c*n^2+d*n+e
左边是一个二级（二阶）等差数列的前n项和，其和为三次多项式。
2.数学归纳法；
3.排列组合里面的朱世杰恒等式。

Answer 2

运用累乘法！