Question

已知数列{An}中，A1=1，前n项和Sn=n+2/3an，求A2，A3，求{An}的通项公式。详细点。

Answer 1

前n项和Sn=n+2/3an,
当n=1时，S1=1+2/3a1
而S1=a1，可a1=3，

好象与题目的A1=1不符合
没法做下去呀,是不是在Sn=n+2/3an加一个条件（n>=2)
若加条件，

n=2时，a1+a2=2+(2/3)a2，a2=3
n=3时，a1+a2+a3=3+(2/3)a3，a3=-3

n>=3时，Sn=n+2/3an…………（1）
S(n-1)=n-1+2/3a(n-1)…………（2）
两式相减得Sn-S(n-1)=n+2/3an-n+1-2/3a(n-1)
an+2a(n-1)=3
用迭代法求得
an=1-4*(-2)^(n-3)(n>=3)
n=1代入,a1=0,不符合
n=2代入,a2=3,不符合

综上
an=1,n=1时
an=3,n=2时
an=1-4*(-2)^(n-3)(n>=3时)

Answer 2

a1=1,
S2=a1+a2=(4/3)a2, 1+a2=(4/3)a2
a2=3
S3=a1+a2+a2=1+3+a3=((5/3)a3,
a3=6
猜测：an=n(n+1)/2
证明：a1=1=1*2/2 a2=3=2*3/2, a3=6=3*4/2,
对n=1,2,3时都正确（实际上只要验证n=1即可）
设n<k时成立,即当n<k时 an=n(n+1)/2,
则当n=k时：
Sk=a1+a2+a3+.....+a(k-1)+ak=[(k+2)/3]ak
1*2/2+2*3/2+3*4/2+.....+(k-1)k+ak=[(k+2)/3]ak
(k-1)k(k+1)/(1*2*3)+ak=[(k+2)/3]ak
(k-1)k(k+1)/(1*2*3)=[(k+2)/3-1]ak=[(k-1)/3]ak
ak=k(k+1)/2.
即当n=k时成立，故an=n(n+1)/2.