Question

设f(x)=∫(1→x)lnt/(1+t²)dt,求证f(x)=f(1/x).

Answer 1

证明：

f(x)=∫(1→x)lnt/(1+t²)dt （作代换s=1/t，则t=1/s，dt=d(1/s)=-ds/s²）

=∫(1→1/x) ln(1/s)/(1+1/s²)(-ds)/s²

=∫(1→1/x) lns/(1+s²)ds

而f(1/x)=∫(1→1/x)lnt/(1+t²)dt=∫(1→1/x) lns/(1+s²)ds

故

f(x)=f(1/x)成立。

扩展资料：

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

Answer 2

证明：
f(x)=∫(1→x)lnt/(1+t²)dt （作代换s=1/t，则t=1/s，dt=d(1/s)=-ds/s²）
=∫(1→1/x) ln(1/s)/(1+1/s²)(-ds)/s²
=∫(1→1/x) lns/(1+s²)ds
而f(1/x)=∫(1→1/x)lnt/(1+t²)dt=∫(1→1/x) lns/(1+s²)ds
故
f(x)=f(1/x)成立。

追问

最后成了s而原函数是关于t的，我不理解区间谢谢你。为1到x而被积函数是关于t的。

追答

原积分式中的t是积分变量，而积分变量是可以任意替换的，比如：
∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(y)dy是成立的。
f(x)=∫(1→x)lnt/(1+t²)dt ，积分变量是t，t的积分区间是从1积到x，也即t=1到t=x。当作代换s=1/t时，积分变量变成了s，所以积分下限就是s=1/t=1/1=1，积分上限是s=1/t=1/x。明白了吧

追问

谢谢你。帮忙给做下11题

两个11题

第三张图片是解释销售均匀的问题