Question

抽象函数单调性判断(高一)

已知f（x）的定义域为（0，正无穷大），且对一切x大于0，y大于0，都有f（x/y）=f（x）—f（y），当x大于1时，有f（x）大于0. 问题：若f（6）=1，解不等式f（x+3）—f（1/x）小于2. （答案请详细一些，谢谢）

Answer 1

设x1,x2属于（0，正无穷大），x1>x2
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)，因为x1>x2>0，所以x1/x2>1，因为当x大于1时，有f（x）大于0，所以f(x1/x2)，即f(x1)-f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x）为单调递增函数。不等式f（x+3）—f（1/x）小于2，因为f（x）的定义域为（0，正无穷大），可知x>0，原不等式可化为f（x+3）—f（1/x）<f(6)+f(6)，f（x+3）-(f(1)-f(x))<f(6)+f(6)，f（x+3）-f(1)+f(x)<f(6)+f(6)，f（x+3）-f(6)<f(6)-f(x)，f((x+3)/6)<f(6/x)，由单调递增可得，（x+3)/6<6/x即x(x+3)-36<0再结合x>0，可求得。

追问

额，我还没懂，那个能不能指导一下：f（x+3）—f（1/x）小于2f（6）是怎么变成f（x+3/1/x）小于2f（6）的？？我的解析上的这一步我看不懂（我暑假没补课，自已学的高一课本看解析，这里看不懂）

追答

因为题目里说了对于一切x>0，y>0，都有f（x/y）=f（x）—f（y）也就是f（x）—f（y）=f（x/y）。

Answer 2

设x>y>0，则f(x)-f(y)=f(x/y)，因x/y>1，由题设有f(x/y)>0，则f(x)-f(y)=f(x/y)>0
可知f(x)在其定义域内单调递增。
又因f(x/y)=f(x)-f(y)，容易推导出：
f(xy)=f(x)+f(y);
f(1)=0
f(1/x)=-f(x)
则f(x+3)-f(1/x)=f(x+3)+f(x)=f(x^2+3x)<2=1+1=f(6)+f(6)=f(6*6)=f(36)
由函数单调性，x^2+3x<36
解得(-3-45^0.5)/2<x<(-3+45^0.5)/2
同时f(x+3)及f(1/x)必须在定义域上，x>0
则其交集为0<x<(-3+45^0.5)/2

追问

抱歉啊，我还是看不懂