Question

已知函数f(x)=x^2+2x+2对任意的实数x∈[1/2,3/2]，都有f(x)-2mx≤1成立，求实数m的取值范围

Answer 1

2mx≥f(x)-1=x^2+2x+1
2m≥x+1/x+2
(x+1/x) ' = 1-/x^2=(x^2-1)/x^2
导函数在x∈[1/2,3/2]上先正后负，对应的函数则为先增后减，增区间为【1/2,1】；减区间为
【1，3/2】，所以函数（x+1/x+2）在x∈[1/2,3/2]上的最大值为：1+1/1+2=4
2m≥x+1/x+2恒成立，也就是说左边的2m比右边的最大值还要大，所以
2m≥4
m≥2

Answer 2

f(x)-2mx≤1，变形得m≥(x²+2x+1)/2x=(x+1/x)/2+1≥2, m≥2