Question

已知f(x)=3ax^4-2(3a+1)x^2+4x,若f(x)在(-1,1)上递增函数,求实数a取值范围

Answer 1

f'(x) = 12ax³ - 4(3a+1)x + 4
f(x)在(-1,1)上递增函数,即f'(x)在(-1,1)大于0恒成立。
12ax³ - 4(3a+1)x + 4 > 0在(-1,1)恒成立
化简得x(x - 1)(x+1)a>(x-1)/3
因为x<1， 两边同时约掉(x - 1)再化简得x(x+1)a<1/3
分类讨论：
当x∈(-1,0)时，只要a>=0就恒成立。
当x∈(0,1)时，化简得a<1/3x(x+1)
设g(x) = 1/3x(x+1)
g(x)在(0,1)为减函数，则a < g(x)min = 1/6

综上，a∈[0,1/6)

Answer 2

f(x)=3ax^4-2(3a+1)x^2+4x
f'(x)=12ax^3-4(3a+1)x+4化简得
f'(x)=4(3ax^2+3ax-1)(x-1)
若f(x)在(-1,1)上递增函数
则f'(x)=4(3ax^2+3ax-1)(x-1)> 0在（-1，1）上恒成立
因为 x-1< 0
所以，3ax^2+3ax-1< 0在（-1，1）上恒成立
令g(x)=3ax^2+3ax-1
对称轴=-1\2 g(0)=g(-1)=-1
（1）a>0时
g(1)=<0 得0<a=<1\6
(2)a=0
成立
（3）a<0时
g（-1\2）=<0得-4\3=<a<0

综上[-4\3,1\6]

Answer 3

解：求导f'(x)=4(3ax^2+3ax-1)(x-1),
令f'(x)>=0,又x-1<0,
得：3ax^2+3ax-1<=0在(-1,1)上恒成立。
分类讨论：a=0成立，
a不等于0时，a<0,9a^2+12a<=0,得：-4/3<=a<0
综上可得：实数a的取值范围为[-4/3，0].