Question

已知Sn是数列an的前n项和，且Sn=n的平方-4n+4

an我已经求出是an=1，n=1
2n-5，n大于等于2
题目是这样的：记1/an的前n项和为Tn，若T2n+1-Tn小于等于m/15对n∈正整数恒成立，求正整数m的最小值

那个我连1/an的前n项和Tn都搞不定
大侠帮帮忙吧

Answer 1

解：
n=1时，a1=S1=1²-4×1+4=1
n≥2时，
Sn=n²-4n+4 S(n-1)=(n-1)²-4(n-1)+4
an=Sn-S(n-1)=n²-4n+4-(n-1)²+4(n-1)+4=2n-5
n=1时，a1=2-5=-3≠1
数列{an}的通项公式为
an=1 n=1
2n-5 n≥2
n=1时，1/a1=1/1=1 T1=1
n≥2时，1/an=1/(2n-5)
Tn=1/a1+1/a2+...+1/an= 1+1/(2×2-5)+1/(2×3-5)+...+1/(2n-5)
n=1时，
T(2n+1)-Tn=T3-T1
=1/a1+1/a2+1/a3-1/a1
=1/a2+1/a3
=1/(2×2-5)+1/(2×3-5)
=-1+1=0
T3-T1≤m/15 m/15≥0，m≥0
n≥2时，
T(2n+1)-Tn
=1+1/(2×2-5)+...+1/(2n-5)+1/[2(n+1)-5]+...+1/[2(2n+1)-5]-[1+1/(2×2-5)+...+1/(2n-5)]
=1/[2(n+1)-5]+1/[2(n+2)-5]+...+1/[2(2n+1)-5]
T[2(n+1)+1]-T(n+1)
=1+1/(2×2-5)+...+1/(2n-5)+1/[2(n+1)-5]+...+1/[2(2n+3)-5]-[1+1/(2×2-5)+...+1/(2n-5)+1/(2n-3)]
=1/[2(n+2)-5]+1/[2(n+3)-5]+...+1/[2(2n+3)-5]
[T[2(n+1)+1]-T(n+1)]-[T(2n+1)-Tn]
=1/[2(2n+3)-5]-1/[2(n+1)-5]
=1/(4n+1)-1/(2n-3)
=(2n-3-4n-1)/[(4n+1)(2n-3)]
=-2(n+2)/[(4n+1)(2n-3)]<0
即n≥2时，随n增大，T(2n+1)-Tn单调递减，当n=2时，T(2n+1)-Tn取得最大值。
T5-T2=1/a1+1/a2+1/a3+1/a4+1/a5-1/a1-1/a2
=1/a3+1/a4+1/a5
=1/(2×3-5)+1/(2×4-5)+1/(2×5-5)
=1+1/3+1/5
=23/15
T5-T2≤m/15
23/15≤m/15
m≥23
综上，得m≥23，正整数m的最小值是23。

提示：本题Tn是求不出具体的表达式的，关键在于只要能证明n≥2时，T(2n+1)-Tn是随着n增大单调递减的，那么就可以知道n=2时，T(2n+1)-Tn取得最大值，最大值都≤m/15，那么其他的就都<m/15，满足题意，再进一步解出m就可以了。