Question

复合函数的定义域，值域，单调区间

Answer 1

复合函数 定义 设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数(composite function)，其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量（即函数）。 生成条件 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x）的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ）的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。 定义域 若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是 D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。 求函数的定义域的主要考虑以下几点： ⑴当为整式或奇次根式时，R； ⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）； ⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0； ⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。 ⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 ⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。 ⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求 ⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。 ⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。 ⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。 增减性 依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减” 判断复合函数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数定义域； ⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）； ⑶判断每个常见函数的单调性； ⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； ⑸求出复合函数的单调性。 求导 复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导 法则1：设u=g(x) f'(x)=f'(u)*g'(x) 法则2：设u=g(x),a=p(u) f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)

Answer 2

思维度广、难度大：
y=ln(4-3x-x^2)就是一经典习题。

Answer 3

题目