Question

已知θ∈(π/2,π),1/sinθ+1/cosθ=2倍根号2，则sin（2θ+π/3）

答案上说：由已知条件得sin(θ+4/π)=sin2θ这是怎么的出来的啊？

Answer 1

不用看答案就可以算出来，直接将已知条件通分之后再平方可以算出sin2θ=-1/2,这样直接用公式可以算出所求结果

Answer 2

1/sinθ+1/cosθ=(sinθ+cosθ)/(sinθcosθ)=2√2;
sinθ+cosθ=2√2sinθcosθ两端平方得：
1+2sinθcosθ=8(sinθcosθ)²;
即8(sinθcosθ)²-2sinθcosθ-1=0
(4sinθcosθ+1)(2sinθcosθ-1)=0
sinθcosθ=-1/4;或sinθcosθ=1/2;
因为θ∈(π/2,π), 所以sinθcosθ<0;
所以sinθcosθ=-1/4; sin2θ=-1/2;
sinθ+cosθ=-√2/2;
(sinθ-cosθ)²=1-2sinθcosθ=3/2
sinθ-cosθ=√6/2
(sinθ-cosθ)(sinθ+cosθ)=-√3/2=sin²θ-cos²θ=-cos2θ
cos2θ=√3/2
sin(2θ+π/3)=sin2θcosπ/3+cos2θsinπ/3=(-1/2)(1/2)+(√3/2)²=1/2

Answer 3

通分得
(sinθ+cosθ)/(sinθcosθ)=2√2
注意分子分母都变形
sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)
sinθcosθ=1/2sin2θ
代入即可要你要的结果