Question

高数问题（导数和微分方面的）

试确定常数a和b，使f（x）＝x－（a＋bcosx）sinx为当x→0时关于x的5阶无穷小。

Answer 1

不用一直求导把！真累！
利用泰勒展开式sinx=x-x^3/6+x^5/120+O(x^5)
先把你给的式子变形一下f(x)=x-asinx-(bsin2x)/2,然后展开，x一次方和三次方系数为o，分别为-a/6-4b/6=0(三次方系数为0），1-a-b=0(一次方系数为0）就可以解出a=4/3,b=-1/3.

Answer 2

f（x）＝x－（a＋bcosx）sinx
=x-asinx-bsinxcosx
=x-asinx-b/2sin2x
f'(x)=1-acosx-bcos2x
f''(x)=asinx+2bsin2x
f'''(x)=acosx+4bcos2x
f''''(x)=-asinx-8bsinx
f'''''(x)=-acosx-16bcos2x
=-acosx-32bcosx^2+16b
当X→0 关于x的5阶无穷小为-a-16b

Answer 3

f（x）＝x－（a＋bcosx）sinx 的一阶导数
＝1－（a＋bcosx）cosx－（－bsinx）sinx
=1-acosx-b(cosx的平方－sinx的平方)
=1-acosx-bcos2x (1)
f（x）＝x－（a＋bcosx）sinx 的二阶导数
＝(1-acosx-bcos2x)的一阶导数
＝asinx+2bsin2x (2)
f（x）＝x－（a＋bcosx）sinx 的三阶导数
＝（asinx+2bsin2x）的一阶导数
＝acosx+4bcos2x (3)
f（x）＝x－（a＋bcosx）sinx 的四阶阶导数
＝（acosx+4bcos2x）的一阶导数
＝－asinx-8bsinx (4)
当x→0时关于x的5阶无穷小时，要求（1）（2）（3）（4）式均为0，所以只需（1）（3）为0即可：
1－a－b＝0 （5）
a+4b＝0 （6）
由（5）（6）得a＝4/3 b=-1/3