设实数x, y满足x²+2xy-1=0,则x²+y²的最小值为什么

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wjl371116
2017-01-09 · 知道合伙人教育行家
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知道合伙人教育行家
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设实数x, y满足x²+2xy-1=0,则x²+y²的最小值是什么?
解:由 x²+2xy-1=0得y=(1-x²)/2x,故:
u=x²+y²=x²+[(1-x²)/2x]²=x²+(1-x²)²/(4x²)=(5x^4-2x²+1)/(4x²)
=5x²/4-(1/2)+1/(4x²)≥2√(5/16)-(1/2)=(√5)/2-(1/2)=[(√5)-1]/2;
当且仅仅当5x²/4=1/(4x²),即x^4=1/5,x²=1/√5;y=±(√5-1)/[2×5^(1/4)]
时等号成立。
即当x=±1/5^(1/4),y=±(√5-1)/[2×5^(1/4)]时u=x²+y²获得最小值[(√5)-1]/2。
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