Question

若不等式|x-3|-|x+1|<a恒成立，求a的取值范围

Answer 1

x>=3
x-3-x-1=-4<a
-1<=x<3
3-x-x-1=2-2x<a
x>(a+2)/2=-1
a=0
x<-1
3-x+x+1=4<a
a>4
求a的取值范围4<a

Answer 2

a > |x-3|-|x+1|恒成立
设f(x) = |x-3|-|x+1|
即a > f(x)的最大值
由绝对值不等得|x-3|-|x+1| <= |(x-3) - (x+1)| = 4
即a > 4

Answer 3

解法一 画图（适用于选择填空题）
题目实际含义：数轴上的点X，到点-1和点3的距离差，求此差的最大值，常数a大于此最大值
所以
画图可知，最大值为4，等号不可取
故 a＞4

解法二 分类讨论（适用于大型解答题）
（1）当x≥3时
不等式 左式＝X-3-X-1＝-4
所以 a＞-4
（2）当X≤3且X≥-1时
不等式 左式=-X+3-X-1=-2X+2
若X=-1 则取到最大值 -2X+2=4
所以 a＞4
（3）当X≤-1时
不等式 左式=-X+3+X+1=4
所以 a＞4

综上，a＞4

Answer 4

由绝对值不等式得 |x-3|-|x+1|<=4
又不等式|x-3|-|x+1|<a恒成立
则a>4