Question

已知函数f(x)的定义域为(0,正无穷大)且f(x)在(0,正无穷大)上为增函数,f(xy)=f(x)+f（y），若f（2）=1

试解不等式f(x)+f(xy)=f(x)+f(y)
错连错连…… 试解不等式F(x)+f(x-2)小于3

Answer 1

事实上，f(x)是一个对数函数。
不妨令x=2^a,y=2^b，则有f(2^(a+b))=f(2^a)+f(2^b)。令g(x)=f(2^x)，定义域为R，则g(a+b)=g(a)+g(b)。这是一个经典的柯西函数方程。由f(x)单调，可以证明g(x)为正比例函数。结合g(1)=f(2^1)=1，可知g(x)=x。即f(2^x)=g(x)=x=log2(2^x)。可知f(x)=log2(x)。
你的那个不等式我没看明白。但想必这样就可解了。

补充下为什么f(x+y)=f(x)+f(y)结合f(x)单调能推正比例函数。
首先，用数学归纳法可知，任意自然数n，f(nx)=f((n-1)x)+f(x)=f((n-2)x)+2f(x)=…=nf(x)。
令x=1和-1，则对任意整数，f(n)=nf(1)，f(-n)=-nf(1)。
对于一切有理数n/m，令x=1/m，f(n/m)=n/mf(1)。
综上对任意有理数，f(x)=xf(1)。
下面证明无理数的情况，不妨设f(x)递增。若存在t，使f(t)>tf(1)，记f(t)/f(1)=s1>t。则易知可以找到有理数s2，使t<s2<s1（有理数的稠密性），且一定有f(s2)=s2f(1)。那么就出现了t<s2，且f(t)>f(s2)的情况，与递增矛盾。
同理可证f(t)<tf(1)也是不可能的。
综上，一切实数，有f(x)=xf(1)。

这道题做烦了，按理说f(x)不用解出来，但我实在没看懂那个不等式是啥。

Answer 2

令y=x∈（0，﹢∞），则f（x×x）=f（x^2）=f(x^2*1)=f（x^2）+f(1),

则f（1）=0，
又因为f（x）在(0,正无穷大)上为增函数，则当x∈（0,1），则f（x）<0;当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0.
你说的不等式如果是大于号，即f(x)+f(xy)≥f(x)+f(y)，得f（x）≥0，那么x≥1.