Question

设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x^2+bx+c

设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x^2+bx+c），
g（x）=（ax+1）（cx^2+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（　　）
A、{S}=1且{T}=0 B、{S}=1且{T}=1 C、{S}=2且{T}=2 D、{S}=2且{T}=3
答案：D
请写出详细步骤

Answer 1

⑴若{S}=1，则
①b²-4c＜0
∴c≠0，cx^2+bx+1=0也无实根
若a≠0，则ax+1=0也有实根，{T}=1；
若a=0，则ax+1=0无实根，{T}=0。
②b²-4c=0且﹣a=﹣b／2
若c=0，则b=a=0，g(x)=1
∴{T}=0。
若c≠0
则cx^2+bx+1=0也有两个相等实根x1=x2=﹣b／﹙2c﹚=﹣b／﹙b²／2﹚=﹣2／b=﹣1／a
∴{T}=1。
即{S}=1时，{T}=1或0
⑵若{T}=3，则a≠0且cx²+bx+1=0有二不等实根且﹣1／a不是cx²+bx+1=0的根
∴b²-4c＞0且c／a²－b／a+1≠0即a²－ab+c≠0
∴x²+bx+c=0也有二不等实根且﹣a不是x²+bx+c=0的根
∴f（x）=（x+a）（x²+bx+c﹚=0也有三个根
即﹛S﹜=3
∴D不可能
③当b²-4c=0时，x²+bx+c=0的根是x1=x2=﹣b／2
当c≠0时，cx²+bx+1=0的根是x1=x2=﹣b／﹙2c﹚
当a≠b／2时，﹛S﹜=2
∵b²=4c
∴b／2=2c／b
∴a≠2c／b
∴﹣1／a≠﹣b／﹙2c﹚
∴﹛T﹜=2
即当b²-4c=0且c≠0且a≠b／2时，{S}=2且{T}=2
（突然发现上次考虑不周）