Question

三角形abc中,内角A,B,C对边的对边分别是abc,已知abc成等比数列，且cosB等于四分之三

三角形abc中,内角A,B,C对边的对边分别是abc,已知abc成等比数列，且cosB等于四分之三
（1）求tanA分之一加tanC分之一的值
（2）设向量BA点乘向量BC等于二分之三，求a加c的值

Answer 1

(1) 由已知 a,b,c等比,所以 b²=ac.
由余弦定理 : b²=a²+c²-2ac *cosB, ac=a²+c²-2ac(3/4),
即 2a²-5ac+c²=0 , 得出a=2c 或 c=2a, 此题不妨取c=2a,
则三边为 a , √2 a, 2a.
由余弦定理得 : cosA=5 / (4√2) , cosC= - 1/(2√2)
可求出: tanA=√7 /5 , tanC= -√7, 所以 (1/tanA )+(1/tanC)=4/√7=4√7 / 7.
(2) 向量BA点乘向量BC=c*a*cosB=2a²(3/4)=3/2, 解出 a=1.
所以三边长分别为 1 ,√2 , 2 .
所以a+c=3.