Question

已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f'(x)≤f(x).

(1)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;
(2)若对满足题设条件的任意b'c,不等式f -f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.

这是湖南10年高考题，主要想问第二问中b,c怎么求的？？

Answer 1

(1).f'(x)=2x+b,f(x)=x²+bx+c,故x²+(b-2)x+c-b≧0，对任意实数x成立。
则(b-2)²-4(c-b)≤0,c≥b²/4+1
又b²/4+1≥|b|，故c≥|b|.因而c≥b,c+b≥0,c≥1
因而f(x)-(x+c)²=(b-2c)x+c(1-c).
又b-2c=b-c-c≤0,c(1-c)≤0,因而当x＞0时，f(x)-(x+c)²≤0，即f(x)≤(x+c)².
(2).f(c)-f(b)=(c²+bc+c)-(b²+b²+c)=c²+bc-2b²=(c-b)(c+2b)
故(c-b)(c+2b)≤M(c-b)(c+b)，从而M≥(c+2b)/(c+b)=1+b/(c+b)
设t=c/b，则M≥1+1/(t+1)，显然t≤-1或t≥1,1+1/(t+1)≤3/2，当t=1时等号成立。
因而M的最大值是3/2.(这里b、c只需知晓范围，不需求出)

追问

第二问中，当b=c时，等号两边不能同除（c-b）。。。所以要分类。。。就是第二类我不懂。。。。。求解。。谢谢哈。。

追答

不好意思，考虑不周...
(1).当c=b时，不等式两边都是0，所以M可取任意值；
(2).当c≠b时，不等式等价于c+2b≤M(c+b)
继续讨论：当c+b=0时，c+2b=b≤0=M(c+b)，显然成立；
当c+b≠0时，M≥(c+2b)/(c+b)=1+b/(c+b)
再讨论：当b=0时，c²≤M×c²，由c≥1，故M≥1；
当b≠0时，设t=c/b，则M≥1+1/(t+1)，显然t≤-1或t≥1,1+1/(t+1)≤3/2，当t=1时等号成立，从而M≥3/2。
当M≥3/2时，上述讨论均成立，故M的最小值是3/2。

Answer 2

追问

第二问，当b=|c| 由（1）知b、c的值，b,c怎么求的？
第一问没有求b、c的值啊？？？

追答

基本不等式，一定二正三相等，a+b≥2√ab，当a=b时，不等式取等号，即a+b=2√ab。