Question

已知函数f(x)= x^2+bx+c(b,c∈r) 对任意的x∈r 恒有f'(x)<f(x)

(1)证明当x≥ 0 时 f(x) <( x+c)^2
(2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c^2-b^2)恒成立，求M的最小值

Answer 1

f(x)=x^2+bx+c
=>f'(x)=2x+b

f'(x)<f(x)=>
2x+b<x^2+bx+c
=>x^2+(b-2)x+(c-b)>0
因为对于任意x均成立=》
（b-2)^2-4(c-b)<0
=>b^2+4-4c<0
=>4c>b^2+4>=4 (i)
=>c>1
又b^2<4(c-1)<4c*c
=>-2c<b<2c

(x+c)^2-(x^2+bx+c)
=(2c-b)x+c^2-c
因为x>=0，2c>b
=>(2c-b)x+c^2-c>=c^2-c=c(c-1)>0

因此x^2+bx+c<(x+c)^2
=>f(x)<(x+c)^2

(2)
f(c)-f(b)
=c^2+bc+c-(b^2+b^2+c)
=(c^2-b^2)+(bc-b^2)
=(c+b+b)(c-b)
=(c+2b)(c-b)
因为c-b>0，因此有

因此f(c)-f(b)<=M(c^2-b^2)=M(c+b)(c-b)
=》c+2b<=M(c+b)
=>b<=(M-1)(c+b) (ii)
又根据（i)
=>4c>b^2+4
=>c/b>b/4+1/b>=2*√[(b/4)*(1/b)]=1
因此c/b>1
=>c+b>2b （iii）

综合（ii)(iii)要使不等式对任意bc恒成立，则需要
M-1>=1/2
=>M>=3/2
因此M的最小值是3/2